根据民法典第一千零八十五条的规定，离婚后不直接抚养子女的一方应当负担部分或者全部抚养费。离婚协议中明确约定了抚养费及学杂费、医疗费，且已经办理了离婚登记手续，离婚协议具有法律效力，对双方均有约束力，故孩子有权起诉至法院，要求其父亲按照协议支付抚养费，并补足其此前未付的抚养费。但孩子系未成年人，母亲可作为孩子的法定代理人代为提起诉讼。

关于孩子奶奶赠与房屋的协议，若孩子奶奶仅签署了赠与协议，没有办理房屋过户手续，则房屋所有权不属于孩子，孩子奶奶有权出租房屋。而若协议未经公证，根据民法典第六百五十八条的规定，孩子奶奶有权撤销赠与协议。建议你可与你前夫、孩子奶奶协商公证赠与协议或者办理房屋过户手续。

民法典第一千零六十二条、一千零六十三条、一千零六十五条明确规定，除夫妻间对财产另有约定外，夫妻在婚姻关系存续期间所得的财产归夫妻共同所有，而非一方个人财产。一方的婚前财产不属于夫妻的共同财产，夫妻一方的婚前财产，不因婚姻关系的延续而转化为夫妻共同财产。

女方将其婚前房产出售，所得的售房款仍然应认定为女方个人财产，但需保留相应证据，至于婚后仍由女方还贷，因已是婚后还贷，女方的还贷也视为以夫妻共同财产还款，其后女方用该房产出售款再贷款重新购买的房产，因是婚姻存续期间贷款购买，在司法实践中，重新购买的房产都会被认定为夫妻共同财产，但会考虑女方婚前财产的转化及对取得房产贡献的大小、产权的登记情况、婚前房婚后还贷部分最终确定一个合理的份额比例，而不会直接平分。

这种由婚前房产出售款支付首付购买的改善房，离婚时一般会判决房产归女方所有，然后根据还贷情况，由女方给予男方一定的补偿。